Путь двузначное число содержит  х десятков, у единиц. Запишем его 10х+у.

Составим уравнение:    10х+у=2*(х²+у²)

х>0, y>=0, x,y<10, целые.

Правая часть уравнения делится на 2, значит и левая делится на 2, тогда у делится на 2, значит у-четное число -->  у равен 0 или 2 или 4 или 6 или 8.

1) Пусть у=0

10х+0=2(х² +0);      10х=2х²;    5х-х²=0;  х(5-х)=0;  х=5   или х=0 (не удовл. условию х>0)

Получили число 50. Проверим: 50=2*(5²+0²) - верно.

2) Пусть у=2, тогда 10х+2=2(х²+4);  5х+1=х²+4;   х²-5х+3=0;  целых корней нет 

3) Пусть у=4, тогда 10х+4=2(х²+16);  5х+2=х²+16;      х²-5х+14=0,   решений нет.

4) Пусть у=6, тогда 10х+6=2(х²+36);   5х+3=х²+36,   решений нет

5) Пусть у=8, тогда  10х+8=2(х²+64); 5х+4=х²+64;      х²-5х+60=0,   решений нет.

Ответ: 50.